Windows10のAnniversary Updateを実施すると、Edgeでお気に入りバーをアイコンのみの表示にすることができます。
お気に入りの設定を表示
［ハブ］をクリックして、［お気に入り］の［設定］をクリックします。
お気に入りバーにアイコンのみを表示する
［お気に入りバーを表示する］をオンにすると、その下に［お気に入りバーにアイコンのみを表示する］というコマンドが現れます。
このボタンをオンにします。
そうすると、下のようにお気に入りバーはアイコンのみの表示になります。
［お気に入りバーにアイコンのみを表示する］という項目がないバージョンでの設定方法
Edgeのバージョン 44.18362.449.0では、［お気に入りバーにアイコンのみを表示する］というメニューはありません。
［お気に入りバーにアイコンのみを表示する］という設定項目は、どこかのバージョンで廃止されてしまいました。
まとめてアイコンのみの表示にはできませんが、個別にはアイコンのみの表示にすることができます。
アイコンのみの表示にしたいお気に入りのページで右クリックします。
ショートカットメニューから［アイコンのみを表示］を選択します。
以下のようにアイコンのみの表示になります。
以下のページでも解説しています。
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お気に入りバーの表示と非表示（新Edgeではすべてのページで非表示にできる）
旧バージョンのEdgeでは、お気に入りバーの非表示設定は、スタートページと新しいタブページは例外のようで非表示設定を有効にできませんでした。 ...
新しいMicrosoft Edgeでアイコンのみの表示にするには
2020年1月に新しいEdgeがリリースされました。
以下のページからダウンロードできます。
Chromium ベースの新しい Microsoft Edge をダウンロードする（Microsoft）
以下は、新しいEdgeのバージョン81.0.416.68での方法です。
アイコンのみの表示にしたいお気に入りのページで右クリックします。
ショートカットメニューから［アイコンのみを表示］を選択します。
以下のようにアイコンのみの表示になります。